Ряд обратных простых чисел расходится. То есть:

${\displaystyle \sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty }$

Этот факт доказал Леонард Эйлер в 1737, что усилило результат Евклида (3-й век до нашей эры), что существует бесконечно много простых чисел.

Существует целый ряд доказательств результата Эйлера, включая оценку нижней границы частичных сумм, которая утверждает, что

${\displaystyle \sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geqslant \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

для всех натуральных чисел n. Двойной натуральный логарифм (ln ln) говорит о том, что расхождение ряда очень медленное. См. статью «Константа Майсселя — Мертенса».